Il sistema di disuguaglianze è una soluzione. Sistema di disuguaglianze lineari

Le disuguaglianze e le disuguaglianze sono una dellequello che si svolge al liceo in algebra. A livello di complessità, non è il più difficile, dal momento che ha regole semplici (su di loro un po 'più tardi). Di norma, gli studenti possono facilmente risolvere il sistema di disuguaglianze. Ciò è dovuto anche al fatto che gli insegnanti semplicemente "addestrano" i loro studenti su questo argomento. E non possono non farlo, perché è studiato in futuro con l'uso di altre quantità matematiche, ed è anche controllato per OGE e USE. Nei libri di testo scolastici, il tema delle disuguaglianze e delle disuguaglianze è descritto in modo molto dettagliato, quindi se hai intenzione di studiarlo, è meglio ricorrere a loro. Questo articolo racconta solo i grandi materiali e in esso possono esserci alcune omissioni.

Il concetto di un sistema di disuguaglianze

Se ti rivolgi al linguaggio scientifico, puoi daredefinizione del concetto di "sistema di disuguaglianze". Questo è un modello matematico che rappresenta diverse disuguaglianze. Da questo modello, ovviamente, ha bisogno di una soluzione, e nella sua capacità di agire come una risposta comune per tutte le disuguaglianze del sistema proposto nel lavoro (di solito in essa e scrivere, ad esempio: "Risolvere il sistema di disequazioni 4 x + 1> 2 e 30 - x > 6 ... "). Tuttavia, prima di procedere ai tipi e dei metodi di fabbricazione, è necessario qualcos'altro da capire cosa.

I sistemi di disuguaglianze e il sistema di equazioni

Nel processo di studiare un nuovo argomento molto spessoci sono equivoci Da un lato, tutto è chiaro e piuttosto vogliono iniziare a risolvere i compiti, e dall'altro - alcuni momenti rimangono nell'ombra, non abbastanza bene da comprendere. Inoltre, alcuni elementi delle conoscenze già acquisite possono essere intrecciati con quelli nuovi. Come risultato di questa "sovrapposizione", si verificano spesso degli errori.

Pertanto, prima di iniziare la nostra analisi del nostroargomento, dovresti ricordare le differenze tra equazioni e disuguaglianze, i loro sistemi. Per fare ciò, dobbiamo spiegare ancora una volta quali sono i concetti matematici. L'equazione è sempre l'uguaglianza, ed è sempre qualcosa di uguale (in matematica questa parola è denotata dal segno "="). La disuguaglianza è un modello in cui una quantità o più, o meno di un'altra, o contiene l'affermazione che non sono la stessa cosa. Quindi, nel primo caso, è appropriato parlare di uguaglianza, e nel secondo caso, per quanto ovvio possa sembrare dal titolo, la disuguaglianza dei dati originali. I sistemi di equazioni e disuguaglianze praticamente non differiscono tra loro ei metodi per risolverli sono gli stessi. L'unica differenza è che nel primo caso usiamo le uguaglianze, mentre nella seconda disuguaglianza viene usata.

Tipi di disuguaglianze

Esistono due tipi di disuguaglianze: numerico e con una variabile sconosciuta. Il primo tipo è rappresentato da quantità (figure) che non sono uguali tra loro, ad esempio 8> 10. Il secondo è una disuguaglianza contenente una variabile sconosciuta (indicata con una lettera dell'alfabeto latino, molto spesso X). Questa variabile richiede il suo ritrovamento. A seconda di quanti di essi ci sono nelle disuguaglianze del modello matematico con uno (costituiscono un sistema di disuguaglianze con una variabile) o più variabili (costituiscono un sistema di disuguaglianze con più variabili).

Le ultime due specie in base al grado di costruzione eil livello di complessità della decisione è diviso in semplice e complesso. Le semplici sono anche chiamate disuguaglianze lineari. A loro volta, sono divisi in rigidi e non severi. Rigorosamente "dire" specificatamente che un valore deve essere o minore o maggiore, quindi questa è pura disuguaglianza. Ci sono diversi esempi: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, e così via. Quelli di Nostrict includono anche l'uguaglianza. Vale a dire, un valore può essere maggiore o uguale a un altro valore (segno "≥") o minore o uguale a un altro valore (segno "≤"). Anche in disuguaglianze lineari, la variabile non è nella radice, nel quadrato, non è divisa in nulla, a causa di ciò che sono chiamati "semplici". Le variabili complesse includono variabili sconosciute, la cui scoperta richiede l'esecuzione di più operazioni matematiche. Si trovano spesso in un quadrato, un cubo o sotto la radice, possono essere modulari, logaritmici, frazionari, ecc. Ma poiché il nostro compito è comprendere la soluzione dei sistemi di disuguaglianza, parleremo del sistema delle disuguaglianze lineari. Tuttavia, prima di ciò, dovrebbero essere pronunciate alcune parole sulle loro proprietà.

Proprietà di disuguaglianza

Le proprietà delle disuguaglianze includono quanto segue:

1. Il segno di disuguaglianza viene invertito se viene utilizzata un'operazione per modificare la sequenza delle parti (ad esempio, se t₁ ≤ t₂poi t₂ ≥ t₁).
2. Entrambe le parti della disuguaglianza consentono di aggiungere lo stesso numero a se stessi (ad esempio, se t₁ ≤ t₂poi t₁ + numero ≤ t₂ + numero).
3. Due o più disuguaglianze con il segno della stessa direzione ti permettono di aggiungere i loro lati sinistro e destro (per esempio, se t₁ ≥ t₂, t₃ ≥ t₄poi t₁ + t₃ ≥ t₂ + t₄).
4. Entrambe le parti della disuguaglianza consentono di moltiplicare o dividere per lo stesso numero positivo (ad esempio, se t₁ ≤ t₂ e il numero ≤ 0, quindi il numero · t₁ ≥ numero · t₂).
5. Due o più disuguaglianze con termini positivi e un segno di una direzione consentono di moltiplicarsi l'un l'altro (ad esempio, se t₁ ≤ t₂, t₃ ≤ t₄, t₁, t₂, t₃, t₄ ≥ 0 allora t₁ · T₃ ≤ t₂ · T₄).
6. Entrambe le parti della disuguaglianza si lasciano moltiplicare o dividere per lo stesso numero negativo, ma la diseguaglianza cambia (ad esempio, se t₁ ≤ t₂ e il numero ≤ 0, quindi il numero · t₁ ≥ numero · t₂).
7. Tutte le disuguaglianze hanno la proprietà della transitività (per esempio, se t₁ ≤ t₂ e t₂ ≤ t₃poi t₁ ≤ t₃).

Ora, dopo aver studiato i principi di base della teoria relativa alle disuguaglianze, possiamo procedere direttamente alla considerazione delle regole per risolvere i loro sistemi.

Risolvere i sistemi di disuguaglianza. Informazioni generali modi per risolvere

Come accennato in precedenza, la decisione èvalori variabili che soddisfano tutte le disuguaglianze di un determinato sistema. La soluzione dei sistemi di disuguaglianza è l'implementazione di operazioni matematiche che alla fine portano alla soluzione dell'intero sistema o dimostrano che non ha soluzioni. In questo caso, si dice che la variabile si riferisce a un set numerico vuoto (scritto come: lettera variabile ∈ (segno "appartiene") ø (segno "vuoto"set "), ad esempio, x ∈ ø (si legge così:" Variabile "X appartiene all'insieme vuoto"). Esistono diversi modi per risolvere i sistemi di disuguaglianza: grafica, algebrica, sostituzione. Vale la pena notare che si riferiscono a quei modelli matematici che avere diverse variabili sconosciute, nel caso in cui ce ne sia una sola, sarà il metodo dell'intervallo.

Modo grafico

Permette di risolvere un sistema di disuguaglianze con diversivalori sconosciuti (da due e oltre). Grazie a questo metodo, il sistema di disuguaglianze lineari viene risolto abbastanza facilmente e rapidamente, quindi è il metodo più comune. Ciò è dovuto al fatto che la stampa riduce la quantità di operazioni matematiche di scrittura. Soprattutto diventa piacevole allontanarsi un po 'dalla penna, prendere una matita con un righello e iniziare ulteriori azioni con il loro aiuto, quando è stato fatto molto lavoro e si desidera una piccola varietà. Tuttavia, alcune persone non amano questo metodo a causa del fatto che devono abbandonare l'attività e passare la loro attività mentale al disegno. Tuttavia, questo è un modo molto efficace.

Per soddisfare la soluzione del sistema di disuguaglianze conutilizzando il metodo grafico, è necessario trasferire tutti i membri di ciascuna disuguaglianza sul lato sinistro. I segni saranno invertiti, il diritto dovrebbe essere scritto a zero, quindi è necessario annotare separatamente ogni disuguaglianza. Di conseguenza, le disuguaglianze determinano funzioni. Dopodiché puoi ottenere una matita e un righello: ora devi disegnare un grafico di ogni funzione ottenuta. L'intera serie di numeri, che sarà nell'intervallo della loro intersezione, sarà una soluzione al sistema di disuguaglianze.

Metodo algebrico

Permette di risolvere un sistema di disuguaglianze con duevariabili sconosciute Inoltre, le diseguaglianze devono avere lo stesso segno di disuguaglianza (vale a dire, devono contenere solo il segno "più", o solo il segno "minore", ecc.) Nonostante i suoi limiti, questo metodo è anche più complesso. Si applica in due fasi.

Il primo include l'azione per sbarazzarsi diuna delle variabili sconosciute. Per prima cosa è necessario selezionarlo, quindi verificare la presenza di numeri davanti a questa variabile. Se non lo sono (quindi la variabile apparirà come una singola lettera), allora non cambiamo nulla, se c'è (il tipo della variabile sarà, ad esempio, 5y o 12y), allora è necessario assicurarsi che in ogni disuguaglianza il numero prima della variabile selezionata sia lo stesso Per fare ciò, moltiplicare ciascun membro di disuguaglianze per un fattore comune, ad esempio, se 3y è scritto nella prima diseguaglianza e 5y nel secondo, allora tutti i membri della prima disuguaglianza vengono moltiplicati per 5 e il secondo per 3. Verranno visualizzati rispettivamente 15y e 15y.

La seconda fase della decisione. È necessario trasferire la parte sinistra di ogni disuguaglianza alle loro parti giuste con un cambiamento nel segno di ciascun membro al contrario, per scrivere a destra. Poi arriva la cosa più interessante: sbarazzarsi della variabile selezionata (in altre parole, si chiama "riduzione") durante il ripiegamento delle disuguaglianze. Il risultato è una disuguaglianza con una variabile che deve essere risolta. Dopo questo, dovresti fare la stessa cosa, solo con un'altra variabile sconosciuta. I risultati saranno la soluzione del sistema.

Metodo di sostituzione

Ti permette di risolvere un sistema di disuguaglianze in presenza dila capacità di introdurre una nuova variabile. Solitamente questo metodo viene utilizzato quando una variabile sconosciuta in un membro della diseguaglianza viene elevata alla quarta potenza e nell'altro membro ha un quadrato. Pertanto, questo metodo mira a ridurre il grado di disuguaglianza nel sistema. Esempio x disuguaglianza⁴ - x² - 1 ≤ 0 in questo modo è risolto come segue. Viene introdotta una nuova variabile, ad esempio, t. Scrivono: "Let t = x²", quindi il modello viene riscritto in una nuova forma. Nel nostro caso, otteniamo t² - t - 1 ≤0. Questa disuguaglianza deve essere risolta con il metodo degli intervalli (circa un po 'più tardi), quindi tornare alla variabile X, quindi fare lo stesso con un'altra disuguaglianza. Le risposte ricevute saranno una soluzione di sistema.

Metodo di spaziatura

Questo è il modo più semplice per risolvere i sistemi.disuguaglianze, e allo stesso tempo è universale e comune. È usato al liceo, e anche in alto. La sua essenza sta nel fatto che lo studente è alla ricerca di vuoti di disuguaglianza sulla linea del numero, che è disegnata in un quaderno (questo non è un grafico, ma solo una retta ordinaria con i numeri). Dove le lacune delle disuguaglianze si intersecano, si trova la soluzione del sistema. Per utilizzare il metodo dell'intervallo, è necessario eseguire le seguenti operazioni:

1. Tutti i membri di ciascuna disuguaglianza vengono trasferiti a sinistra con un cambio di segno opposto (lo zero è scritto a destra).
2. Le disuguaglianze sono scritte separatamente, la decisione di ciascuna di esse è determinata.
3. Ci sono intersezioni di disuguaglianze sulla linea del numero. Tutti i numeri a queste intersezioni saranno la soluzione.

Qual è il modo di usare?

Ovviamente quello che sembra più semplice econveniente, ma ci sono casi in cui le attività richiedono un determinato metodo. Molto spesso dicono che è necessario risolvere entrambi con l'aiuto di un grafico o con il metodo degli intervalli. Il metodo algebrico e la sostituzione sono usati molto raramente o per niente, perché sono piuttosto complicati e complicati e, inoltre, sono più utilizzati per risolvere sistemi di equazioni, piuttosto che disuguaglianze, quindi è necessario ricorrere a grafici e intervalli di disegno. Portano visibilità, che non può contribuire all'attuazione efficace e rapida delle operazioni matematiche.

Se qualcosa non funziona

Mentre studia un argomento sull'algebra,Naturalmente, ci possono essere problemi con la sua comprensione. E questo è normale, perché il nostro cervello è progettato in modo che non sia in grado di comprendere il materiale complesso alla volta. Spesso è necessario rileggere un paragrafo, utilizzare l'aiuto di un insegnante o esercitarsi nella risoluzione di compiti tipici. Nel nostro caso, per esempio, guardano in questo modo: "Risolvi il sistema di disuguaglianze 3 x + 1 ≥ 0 e 2 x - 1> 3". In questo modo, l'aspirazione personale, l'aiuto degli estranei e la pratica aiutano a comprendere qualsiasi argomento complesso.

Reshebnik?

E un ottimo Reshebnik, ma noper i compiti a casa, e per l'auto-aiuto. In essi è possibile trovare un sistema di disuguaglianze con la soluzione, esaminarli (come modelli), cercare di capire esattamente come l'autore della soluzione ha affrontato l'attività, quindi provare a farlo in un ordine indipendente.

risultati

L'algebra è uno dei temi più difficili inla scuola. Bene, cosa puoi fare? La matematica è sempre stata così: è data a qualcuno facilmente, ma a qualcuno con difficoltà. Ma in ogni caso, va ricordato che il programma di educazione generale è progettato in modo che ogni studente possa farcela. Inoltre, dobbiamo tenere a mente un numero enorme di assistenti. Alcuni di questi sono stati citati sopra.

</ p>>